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六、夹角γ为75°的计算
6.1用基础理论分析图7形式三曲拐顺时针转动时惯性力
①一阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
若两质量相等则有
仿上一篇文章也可以写成复数向量形式，则是如下
若不用共轭复数来表示，本篇文章以后的这样的公式都这样处理
计算的结果与采用三角函数法相同。
可以得出三曲拐W型75°压缩机一阶惯性力是一个圆，这个圆与45°的一样大，比60°的稍小些，式（56）与式（12）比较起来，一个是 
而另一个是1.5。旋转方向与曲柄反向。
②二阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
所以得出两质量相等时，其二阶惯性力是一椭圆，其大小比60°的大很多，旋转方向与曲柄反向，椭圆的短长轴之比约为0.518。
由于图中的坐标系就是建立在主方向对称位置，因而也就无需进行旋转变换。即使进行矩阵的旋转变换，也就是乘以一个单位阵，运算后还等于自身；同样的，所谓的一、二阶惯性力的参数方程因考虑的主方向，所需要的代入变换也无需进行。
6.2用基础理论分析图8形式三曲拐顺时针转动时惯性力
①一阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
同样的，也可以采用下式来计算
这说明，一阶惯性力大小和旋转方向还是图7中那个圆，不过相位与居中分布的不一样，往复质量ms2偏置分布不向自身旋转时，一阶惯性力的相位在0°与曲柄旋转相位交角成30°，要注意的是这两个矢量转向相反，刚开始的时候这两个矢量作相离运动，在165°的时候重合。这是因为从ms2偏置分布不向自身旋转这个角度描述这两个矢量的相位关系，从图8中可以看出，该IⅠ(θ)的位置是从图示的角度描述的，若我们换作中间的角度来看该问题，从图中可以得出β角左右相等，这也显然是异曲同工之妙。
从图8看出，作负角30°旋转变换到X″OY″坐标系中，图8中没有画出该坐标系，则有
实际上它与图7中描述的本质是一致的，简单地说是圆和反相，仅相位角相差一个30°，这是因为气缸夹角成75°分布。
我们这里来进行自变量的带入变换。进行自变量的带入变换的好处是：在进行计算机散点输出惯性力图像时，自动考虑到主方向位置，得出的一、二阶惯性力图像可以让人们轻松地看出与其位置相对应，省去了将图像作相应的角度的矩阵旋转变换，这也是异曲同工之妙。以前曾讲过，为计算方便，通常θ角的计入零点规定为ms2列活塞处于上死点的位置。文中得到的计算公式与选择上面的计入零点无关。简单地说，结构决定了惯性力的参数方程中的所有系数，这一点与解二元一次方程组只需要进行两个行列式的比值运算类似。
怎样作自变量的带入变换呢，从图8中我们建立α角，规定α角从中间位置到右边列曲柄所转到的位置。考虑到篇幅限制，我们统一认为三列往复质量相等来计算，三曲拐60°的没有展开分析这一段，读者有兴趣可以自行回味。利用 
，式（62）的换位公式即为
结合图8，从换位公式（62′）可以看出，当α为45°时，也就是θ为－30°时，x轴达到最大而y轴为0，这是在xoy坐标系内得出的，也就是说，这时一阶惯性力全部作用在x轴上也就是气缸中心线上，亦即说明ms2列活塞的曲柄处于零位时，其一阶惯性力位置落后曲柄位置30°。另外y轴的代数式有个负号说明反向旋转。这与式（56）表达的意思一致。
③二阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
关于三曲拐W型75°顺转二阶惯性力也有下列的方程运算，作正角15°旋转变换
读者也可以仿式（57）写出其复数表达式来计算。
同样的式（64）、（65）的换位公式为
从式（66）发现，二阶惯性力初始相位在水平方向，且与曲柄旋转方向相反。
6.3用基础理论分析图9形式反时针转动时惯性力
①一阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
一阶力大小和旋转方向还是图4中那个圆，从表面上看来其相位与居中分布的不一样，往复质量ms2偏置分布并且向自身旋转时，一阶惯性力的相位在0°与曲柄相位相差30°，要注意的是这两个矢量转向相反，刚开始的时候这两个矢量作相向运动，在15°的时候重合。图6、图5与图4中描述的本质是一致的，简单地说是圆和反相。
一阶惯性力也可以作负角30°旋转变换，此处不展开了。作负角30°旋转变换得出的结果是最简单的，实际上可以作任一角度的模为1的旋转变换，不过得出的结果不是最简单的，甚至很不容易看出其变化规律。以上所涉及的旋转变换包括二阶惯性力的旋转变换都遵循这样的原理。
同样，我们从图9中我们建立α角，规定α角从中间位置到右边列曲柄所转到的位置。这里统一认为三列往复质量相等来计算。利用 
式（67）的换位公式即为
结合图9，从换位公式（67′）可以看出，当α为－45°时，也就是θ为30°时，x轴达到最大而y轴为0，这是在xoy坐标系内得出的，也就是说，这时一阶惯性力全部作用在x轴上也就是气缸中心线上。另外y轴的代数式有个负号说明反向旋转。这与式（56）表达的意思一致。
②二阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
作负角15°旋转变换
从式（68）发现，二阶惯性力初始相位在水平方向，且与曲柄旋转方向相反。读者也可以仿式（57）写出其复数表达式来计算。
读者同样可以写出其换位公式，用 
带入上面两个公式中，此处不写了。
6.4往复质量相等时图7、图8、图9一致性验算方程
由于图9所画的转向是顺时针，为弄明白坐标系的旋转变换是正角变换还是负值变换，可以作图9的镜像图，所以得到是负角75°变换，考虑到是均布三曲拐，所以新坐标系的开始角的度量关系如下
图7与图8之间的一致性方程留给读者写出。
6.5总结
本处以安徽华晶机械有限公司生产的WW-0.9/10B-Q型全无油二级空压机为模版，假定气缸夹角为45°，计算其一、二阶往复惯性力。此处先假定曲轴为三曲拐，三列往复质量相等，即ms为1.8kg，曲柄半径为0.0375m，曲柄半径连杆比λ为37.5/195，角速度ω为2π×(800/60)rad/s，现将上述结构参数分别代入上文中所列的相关公式中，运用计算机内EXCEL程序列表、绘图计算分析，计算的结果绘制在上图的图7、图8、图9中，可以得到以下结论：
1）按图7形式作居中顺时针转动，其一、二阶惯性力矢端力图如图7所示。
计算结果表明：当按照图7所示建立的直角坐标系xoy后，按照顺时针转θ角后，一阶往复惯性力如IⅠ(θ)所示，它是一个圆；二阶往复惯性力如IⅡ(θ)所示，它是一个很明显的椭圆。一阶惯性力的半径长为647N，图中显示了当θ＝0°，一阶惯性力的向量是IⅠ(0)，在这个位置曲柄矢与一阶惯性力矢瞬时重合，随后二者的方向矢量始终是关于竖直轴对称。二阶惯性力图是一个标准的椭圆，二阶惯性力的长半轴、短半轴为176N、91.1N，相比较45°分布的增大了很多，长轴始终在水平方向。图中还显示了当θ＝0°，二阶惯性力的向量是IⅡ(0)，由于这种对称布置，初始的二阶惯性力向量与曲柄矢重合且同相，45°分布时初始的二阶惯性力与曲柄重合反相，60°分布时初始的二阶惯性力与曲柄重合同相，这些都是内在的均布三曲柄和外在的成一定角度分布的三气缸所决定的。当曲轴旋转一周时，二阶惯性力是从IⅡ(0)位置开始沿着其二阶力椭圆形式反时针转动了2周，这不同于45°的情形，一阶力则沿着外面的圆反时针转动了1周。两种惯性力的转向与60°的等同。
2）按图8形式作顺时针转动，其一、二阶惯性力矢端力图如图8所示。
计算结果表明：当按照图8所示建立的直角坐标系xoy后，按照顺时针转θ角后，一阶往复惯性力如IⅠ(θ)所示，它是一个圆；二阶往复惯性力如IⅡ(θ)所示，它是一个很明显的椭圆。一阶惯性力的半径长为647N，图中显示了当θ＝0°，一阶惯性力的向量是IⅠ(0)，在这个位置曲柄矢与一阶惯性力矢瞬时不重合，而是在落后的30°的位置，刚开始在这个30°的位置内两个矢量作相离运动。二阶惯性力图是一个标准的椭圆，二阶惯性力的长半轴、短半轴为176N、91.1N，长轴始终在水平方向。图中还显示了当θ＝0°，二阶惯性力的向量是IⅡ(0)，它正好在水平方向上，也就是在图示的X′坐标轴方向的位置。当曲轴旋转一周时，二阶惯性力是从IⅡ(0)位置开始沿着其二阶力椭圆形式反时针转动了2周，而一阶力则沿着外面的椭圆反时针转动了1周。
3）按图9形式作反时针转动，其一、二阶惯性力矢端力图如图9所示。
这里需说明的是，一阶惯性力图还是图7中的那个大圆，方向矢则逆着曲柄矢沿轨迹图顺时针变化。刚开始在图中那个30°的位置内两个矢量作相向运动；二阶惯性力图也类似这样。并且图8与图9中起始的一阶惯性力矢量IⅠ(0)不变，二阶惯性力的初始矢量则相同。
三张图实际上表达了同一种的一、二阶往复惯性力的变化规律，根据式（56）、（60）、（62）、（66）、（67）、（68）得出，一阶惯性力反向旋转，大小是定值；二阶惯性力也反向旋转，大小成椭圆变化。同样也给人一种“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的意蕴。
4）均布三曲拐W型夹角75°和45°的往复惯性力特性比较
①相同点
一阶惯性力变化属性完全相同，包括其大小和转动属性，都是与机器旋转的方向相反，这不同于单曲拐的。如果都从居中的位置开始描述一阶惯性力，则它们的参数方程完全相同。这一点决定了下面的这个事实：如果都从偏置的角度来描述这个问题，则75°时不向自身转动时，与45°时向自身旋转时，它们都是距曲柄矢向量30°范围内背向旋转，这两种情形就是该两个矢量互换。同样，75°时向自身转动时，与45°时不向自身旋转时，它们都是距曲柄矢向量30°范围内相向旋转。由于这两个方案一阶惯性力变化属性完全相同，则设计它们的平衡机构完全一样，可以相互借用。
②不同点
二阶惯性力变化属性完全不同，75°时曲柄矢与二阶惯性力矢转向相反，其值较大；45°时曲柄矢与二阶惯性力矢转向相同而初始的相位成对角布置，其值较小，因而可以忽略无需设计专门的平衡机构来平衡二阶往复惯性力。相比较起来我们所以说，三曲拐W型45°压缩机是很有发展前途的压缩机。
＜本文未完待续，更多精彩内容见下期！＞
参考文献
(1)陆鹏程，复数法分析研究W型压缩机往复惯性力(一～四)[J]，压缩机，2024.8～11期
(2)宋瑞林，气缸夹角为60°的V6车用发动机往复惯性力的平衡分析，[J]，汽车技术，1988.8
(3)李松虎，3W型活塞压缩机往复惯性力的分析，[J]，压缩机技术，1987.3
(4)陆鹏程，张光胜，三星型压缩机振动问题研究，[J]，安徽工程科技学院学报，2009.1
(5)王再顺，夹角为90°的V型压缩机往复惯性力平衡的探讨，[J]，压缩机技术，1986.2
作者简介
陆鹏程，男，安徽桐城人，海军工程大学在职硕士毕业。现在中国人民解放军第四八一二工厂，安徽华晶机械有限公司工作，高级工程师。研究方向：压缩机研究与强度设计。
来源：本站原创
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六、夹角γ为75°的计算
6.1用基础理论分析图7形式三曲拐顺时针转动时惯性力
①一阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
若两质量相等则有
仿上一篇文章也可以写成复数向量形式，则是如下
若不用共轭复数来表示，本篇文章以后的这样的公式都这样处理
计算的结果与采用三角函数法相同。
可以得出三曲拐W型75°压缩机一阶惯性力是一个圆，这个圆与45°的一样大，比60°的稍小些，式（56）与式（12）比较起来，一个是 而另一个是1.5。旋转方向与曲柄反向。
②二阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
所以得出两质量相等时，其二阶惯性力是一椭圆，其大小比60°的大很多，旋转方向与曲柄反向，椭圆的短长轴之比约为0.518。
由于图中的坐标系就是建立在主方向对称位置，因而也就无需进行旋转变换。即使进行矩阵的旋转变换，也就是乘以一个单位阵，运算后还等于自身；同样的，所谓的一、二阶惯性力的参数方程因考虑的主方向，所需要的代入变换也无需进行。
6.2用基础理论分析图8形式三曲拐顺时针转动时惯性力
①一阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
同样的，也可以采用下式来计算
这说明，一阶惯性力大小和旋转方向还是图7中那个圆，不过相位与居中分布的不一样，往复质量ms2偏置分布不向自身旋转时，一阶惯性力的相位在0°与曲柄旋转相位交角成30°，要注意的是这两个矢量转向相反，刚开始的时候这两个矢量作相离运动，在165°的时候重合。这是因为从ms2偏置分布不向自身旋转这个角度描述这两个矢量的相位关系，从图8中可以看出，该IⅠ(θ)的位置是从图示的角度描述的，若我们换作中间的角度来看该问题，从图中可以得出β角左右相等，这也显然是异曲同工之妙。
从图8看出，作负角30°旋转变换到X″OY″坐标系中，图8中没有画出该坐标系，则有
实际上它与图7中描述的本质是一致的，简单地说是圆和反相，仅相位角相差一个30°，这是因为气缸夹角成75°分布。
我们这里来进行自变量的带入变换。进行自变量的带入变换的好处是：在进行计算机散点输出惯性力图像时，自动考虑到主方向位置，得出的一、二阶惯性力图像可以让人们轻松地看出与其位置相对应，省去了将图像作相应的角度的矩阵旋转变换，这也是异曲同工之妙。以前曾讲过，为计算方便，通常θ角的计入零点规定为ms2列活塞处于上死点的位置。文中得到的计算公式与选择上面的计入零点无关。简单地说，结构决定了惯性力的参数方程中的所有系数，这一点与解二元一次方程组只需要进行两个行列式的比值运算类似。
怎样作自变量的带入变换呢，从图8中我们建立α角，规定α角从中间位置到右边列曲柄所转到的位置。考虑到篇幅限制，我们统一认为三列往复质量相等来计算，三曲拐60°的没有展开分析这一段，读者有兴趣可以自行回味。利用 ，式（62）的换位公式即为
结合图8，从换位公式（62′）可以看出，当α为45°时，也就是θ为－30°时，x轴达到最大而y轴为0，这是在xoy坐标系内得出的，也就是说，这时一阶惯性力全部作用在x轴上也就是气缸中心线上，亦即说明ms2列活塞的曲柄处于零位时，其一阶惯性力位置落后曲柄位置30°。另外y轴的代数式有个负号说明反向旋转。这与式（56）表达的意思一致。
③二阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
关于三曲拐W型75°顺转二阶惯性力也有下列的方程运算，作正角15°旋转变换
读者也可以仿式（57）写出其复数表达式来计算。
同样的式（64）、（65）的换位公式为
从式（66）发现，二阶惯性力初始相位在水平方向，且与曲柄旋转方向相反。
6.3用基础理论分析图9形式反时针转动时惯性力
①一阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
一阶力大小和旋转方向还是图4中那个圆，从表面上看来其相位与居中分布的不一样，往复质量ms2偏置分布并且向自身旋转时，一阶惯性力的相位在0°与曲柄相位相差30°，要注意的是这两个矢量转向相反，刚开始的时候这两个矢量作相向运动，在15°的时候重合。图6、图5与图4中描述的本质是一致的，简单地说是圆和反相。
一阶惯性力也可以作负角30°旋转变换，此处不展开了。作负角30°旋转变换得出的结果是最简单的，实际上可以作任一角度的模为1的旋转变换，不过得出的结果不是最简单的，甚至很不容易看出其变化规律。以上所涉及的旋转变换包括二阶惯性力的旋转变换都遵循这样的原理。
同样，我们从图9中我们建立α角，规定α角从中间位置到右边列曲柄所转到的位置。这里统一认为三列往复质量相等来计算。利用 式（67）的换位公式即为
结合图9，从换位公式（67′）可以看出，当α为－45°时，也就是θ为30°时，x轴达到最大而y轴为0，这是在xoy坐标系内得出的，也就是说，这时一阶惯性力全部作用在x轴上也就是气缸中心线上。另外y轴的代数式有个负号说明反向旋转。这与式（56）表达的意思一致。
②二阶惯性力的计算
按图中顺序依次写成
作负角15°旋转变换
从式（68）发现，二阶惯性力初始相位在水平方向，且与曲柄旋转方向相反。读者也可以仿式（57）写出其复数表达式来计算。
读者同样可以写出其换位公式，用 带入上面两个公式中，此处不写了。
6.4往复质量相等时图7、图8、图9一致性验算方程
由于图9所画的转向是顺时针，为弄明白坐标系的旋转变换是正角变换还是负值变换，可以作图9的镜像图，所以得到是负角75°变换，考虑到是均布三曲拐，所以新坐标系的开始角的度量关系如下
图7与图8之间的一致性方程留给读者写出。
6.5总结
本处以安徽华晶机械有限公司生产的WW-0.9/10B-Q型全无油二级空压机为模版，假定气缸夹角为45°，计算其一、二阶往复惯性力。此处先假定曲轴为三曲拐，三列往复质量相等，即ms为1.8kg，曲柄半径为0.0375m，曲柄半径连杆比λ为37.5/195，角速度ω为2π×(800/60)rad/s，现将上述结构参数分别代入上文中所列的相关公式中，运用计算机内EXCEL程序列表、绘图计算分析，计算的结果绘制在上图的图7、图8、图9中，可以得到以下结论：
1）按图7形式作居中顺时针转动，其一、二阶惯性力矢端力图如图7所示。
计算结果表明：当按照图7所示建立的直角坐标系xoy后，按照顺时针转θ角后，一阶往复惯性力如IⅠ(θ)所示，它是一个圆；二阶往复惯性力如IⅡ(θ)所示，它是一个很明显的椭圆。一阶惯性力的半径长为647N，图中显示了当θ＝0°，一阶惯性力的向量是IⅠ(0)，在这个位置曲柄矢与一阶惯性力矢瞬时重合，随后二者的方向矢量始终是关于竖直轴对称。二阶惯性力图是一个标准的椭圆，二阶惯性力的长半轴、短半轴为176N、91.1N，相比较45°分布的增大了很多，长轴始终在水平方向。图中还显示了当θ＝0°，二阶惯性力的向量是IⅡ(0)，由于这种对称布置，初始的二阶惯性力向量与曲柄矢重合且同相，45°分布时初始的二阶惯性力与曲柄重合反相，60°分布时初始的二阶惯性力与曲柄重合同相，这些都是内在的均布三曲柄和外在的成一定角度分布的三气缸所决定的。当曲轴旋转一周时，二阶惯性力是从IⅡ(0)位置开始沿着其二阶力椭圆形式反时针转动了2周，这不同于45°的情形，一阶力则沿着外面的圆反时针转动了1周。两种惯性力的转向与60°的等同。
2）按图8形式作顺时针转动，其一、二阶惯性力矢端力图如图8所示。
计算结果表明：当按照图8所示建立的直角坐标系xoy后，按照顺时针转θ角后，一阶往复惯性力如IⅠ(θ)所示，它是一个圆；二阶往复惯性力如IⅡ(θ)所示，它是一个很明显的椭圆。一阶惯性力的半径长为647N，图中显示了当θ＝0°，一阶惯性力的向量是IⅠ(0)，在这个位置曲柄矢与一阶惯性力矢瞬时不重合，而是在落后的30°的位置，刚开始在这个30°的位置内两个矢量作相离运动。二阶惯性力图是一个标准的椭圆，二阶惯性力的长半轴、短半轴为176N、91.1N，长轴始终在水平方向。图中还显示了当θ＝0°，二阶惯性力的向量是IⅡ(0)，它正好在水平方向上，也就是在图示的X′坐标轴方向的位置。当曲轴旋转一周时，二阶惯性力是从IⅡ(0)位置开始沿着其二阶力椭圆形式反时针转动了2周，而一阶力则沿着外面的椭圆反时针转动了1周。
3）按图9形式作反时针转动，其一、二阶惯性力矢端力图如图9所示。
这里需说明的是，一阶惯性力图还是图7中的那个大圆，方向矢则逆着曲柄矢沿轨迹图顺时针变化。刚开始在图中那个30°的位置内两个矢量作相向运动；二阶惯性力图也类似这样。并且图8与图9中起始的一阶惯性力矢量IⅠ(0)不变，二阶惯性力的初始矢量则相同。
三张图实际上表达了同一种的一、二阶往复惯性力的变化规律，根据式（56）、（60）、（62）、（66）、（67）、（68）得出，一阶惯性力反向旋转，大小是定值；二阶惯性力也反向旋转，大小成椭圆变化。同样也给人一种“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的意蕴。
4）均布三曲拐W型夹角75°和45°的往复惯性力特性比较
①相同点
一阶惯性力变化属性完全相同，包括其大小和转动属性，都是与机器旋转的方向相反，这不同于单曲拐的。如果都从居中的位置开始描述一阶惯性力，则它们的参数方程完全相同。这一点决定了下面的这个事实：如果都从偏置的角度来描述这个问题，则75°时不向自身转动时，与45°时向自身旋转时，它们都是距曲柄矢向量30°范围内背向旋转，这两种情形就是该两个矢量互换。同样，75°时向自身转动时，与45°时不向自身旋转时，它们都是距曲柄矢向量30°范围内相向旋转。由于这两个方案一阶惯性力变化属性完全相同，则设计它们的平衡机构完全一样，可以相互借用。
②不同点
二阶惯性力变化属性完全不同，75°时曲柄矢与二阶惯性力矢转向相反，其值较大；45°时曲柄矢与二阶惯性力矢转向相同而初始的相位成对角布置，其值较小，因而可以忽略无需设计专门的平衡机构来平衡二阶往复惯性力。相比较起来我们所以说，三曲拐W型45°压缩机是很有发展前途的压缩机。
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(1)陆鹏程，复数法分析研究W型压缩机往复惯性力(一～四)[J]，压缩机，2024.8～11期
(2)宋瑞林，气缸夹角为60°的V6车用发动机往复惯性力的平衡分析，[J]，汽车技术，1988.8
(3)李松虎，3W型活塞压缩机往复惯性力的分析，[J]，压缩机技术，1987.3
(4)陆鹏程，张光胜，三星型压缩机振动问题研究，[J]，安徽工程科技学院学报，2009.1
(5)王再顺，夹角为90°的V型压缩机往复惯性力平衡的探讨，[J]，压缩机技术，1986.2
作者简介
陆鹏程，男，安徽桐城人，海军工程大学在职硕士毕业。现在中国人民解放军第四八一二工厂，安徽华晶机械有限公司工作，高级工程师。研究方向：压缩机研究与强度设计。
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